Matemáticas y Teoremas

Fórmula de Herón

La fórmula de Herón nos permite calcular el área de un triángulo conocidos los tres lados del mismo.

Por lo tanto, no es necesario conocer ni la altura ni ninguno de los ángulos.

Si llamamos s al semiperímetro y a, b y c a los lados del triángulo, siendo

Polígonos

En esta sección vamos a utlizar las fórmulas que ya conocemos para calcular perímetros y áreas de polígonos. Para esto es una buena idea recordar las fórmulas de áreas de los polígonos.

Reto 1: Calcular el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: A(1, 1), B(−2, 3) y C(−3, −1) dibujando otros triángulos alrededor de éste para formar un cuadrilátero.

Para calcular el área de un polígono de varios lados no existe una fórmula como la de Herón para calcular el área a partir de las longitudes de sus lados.

Sin embargo, siempre que tengamos un polígono, podemos formar triángulos dentro de este polígono y calcular las áreas de cada uno de los triángulos internos al polígono.

El área del polígono será igual a la suma de las áreas de todos los triángulos internos. El problema consiste en que cada vez tenemos que calcular más longitudes, porque ahora no solamente debemos calcular las longitudes de los lados, sino también de las diagonales que se requieran para cubrir todo el polígono con triángulos.

Dado que nosotros solamente tenemos fórmulas para calcular el área del triángulo, solamente podemos utilizar ese artificio.

Igual, podemos calcular el área utilizando el procedimiento utilizado para resolver el reto anterior.

Créditos

Albert Einstein: Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 31 de julio de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.

Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita.

Razonamiento lógico matemático

Razonar es la actividad mental que permite lograr la estructuración y la organización de las ideas para llegar a una conclusión.

La lógica, por su parte, es la ciencia dedicada a la exposición de las formas, los métodos y los principios del conocimiento científico. Algo lógico, en este sentido, es aquello que respeta estas reglas y cuyas consecuencias resultan justificadas, válidas o naturales.

Un razonamiento lógico, en definitiva, es un proceso mental que implica la aplicación de la lógica. A partir de esta clase de razonamiento, se puede partir de una o de varias premisas para arribar a una conclusión que puede determinarse como verdadera, falsa o posible.

El razonamiento lógico matemático es la aplicación de la lógica en problemas matemáticos.

Razonamiento espacial

El razonamiento espacial evalúa la capacidad del individuo para visualizar objetos en su mente, así como la habilidad de imaginar un objeto en diferentes posiciones, sin perder de él sus características, como por ejemplo, la rotación de imágenes o la construcción de figuras; también se incluyen las habilidades para descubrir similitudes entre objetos que parecen diferentes.

Esta capacidad de percibir correctamente el espacio, sirve para orientarse mediante planos y mapas y le permite al ser humano crear dibujos, construir estructuras en tres dimensiones, tales como esculturas, edificios, etc.

El razonamiento y el cerebro

Nuestros cerebros son dobles, y cada mitad tiene su propia forma de conocimiento, su propia manera de percibir la realidad externa, incluso podríamos aventurarnos a decir que poseen su propia personalidad, siendo ambas mitades complementarias una de la otra.
El hemisferio derecho es intuitivo en vez de lógico, piensa en imágenes, símbolos y sentimientos. Tiene capacidad imaginativa y fantástica, espacial y perceptiva.
El hemisferio izquierdo procesa la información analítica y secuencialmente, paso a paso, de forma lógica y lineal. El hemisferio izquierdo analiza, abstrae, cuenta, mide el tiempo, planea procedimientos paso a paso, verbaliza, Piensa en palabras y en números, es decir contiene la capacidad para las matemáticas y para leer y escribir.
Por lo tanto es este hemisferio el que se encarga del razonamiento lógico matemático y para el razonamiento espacial es necesario un poco de ambos hemisferios, ya que es necesario encontrar una lógica en las secuencia pero al mismo tiempo imaginar la misma para saber cuál es la pieza faltante o la nueva posición.

Estrategias para desarrollar el razonamiento lógico

El desarrollo de las capacidades lógico-matemáticas en el alumno es fundamental desde las primeras etapas educativas. La estimulación adecuada desde una edad temprana favorecerá el desarrollo de estas capacidades y permitirá al alumno introducir estas habilidades en su vida cotidiana. Esta estimulación debe ser acorde a la edad y características del alumnado, respetando su propio ritmo; además debe ser divertida, significativa y dotada de refuerzos que la hagan agradable y motivador
Algunas estrategias y actividades que pueden ayudar a estimular el desarrollo del pensamiento matemático del alumno son las siguientes:

Observación de los fenómenos físicos y sus efectos sobre las cosas en situaciones cotidianas.
Manipulación y experimentación con diferentes objetos.
Planteamiento de actividades de razonamiento lógico para identificar, seriar, comparar, clasificar diferentes objetos de acuerdo con sus características.
Planteamiento de problemas motivadores que supongan un reto o un esfuerzo mental.

Test

En la parte de abajo se encuentra un cuestionario para medir tu capacidad de razonamiento lógico y razonamiento espacial.
Calificaciones:

10 aciertos: Muy bueno
De 8 a 9 aciertos: Bueno
De 6 a 7 aciertos: Regular
5 aciertos o menos: Deficiente

Al terminar el cuestionario puedes ver las respuestas correctas y algunas explicaciones de las mismas dando clic en "Repasar respuestas"

Pon atención y piensa bien tus respuestas. ¡Suerte!

Test creado con GoConqr por lizgarciasm

En conclusión, la lógica es de las ciencias que más utilizamos y que pocas veces estudiamos o nos dedicamos a desarrollar, suele ser muy útil en la vida diaria y por ello es importante practicar. Muchas empresas, a la hora de contratar personal hacen pruebas de razonamiento lógico, esto para medir la capacidad de resolución de problemas y así saber si el postulado será un elemento lógico que pueda resolver con rapidez y certeza los posibles problemas en la empresa.
El razonamiento lógico matemático además de ser útil, es muy entretenido, los retos que estos implican pueden hacer crecer el sentimiento de superación.

Referencias

http://definicion.de/razonamiento-logico/
http://www.mentesenblanco-razonamientoabstracto.com/razonamiento-espacial.html
http://www.personarte.com/hemisferios.htm#
http://portaleducativo.educantabria.es/web/pcm/13

El origen de la fórmula de la ecuación de segundo grado

Del colegio recordamos que todas las ecuaciones de segundo grado pueden resolverse con una fórmula. Si se escribe la ecuación como aX^2+ B^X+C=0, la receta X= (-b+-sqrt (b^2-4ac))/2a, da fácilmente las soluciones. Pero, ¿de dónde sale esta fórmula? El recorrido en la historia de la resolución de las ecuaciones polinómicas nos lleva hoy a India y los países árabes.

Los matemáticos europeos, con la caída de la Biblioteca de Alejandría como momento clave, entraron en el gran letargo de la Edad Media, del que no despertarían hasta el Renacimiento. Mientras tanto, las matemáticas siguieron creciendo y evolucionando en otras latitudes: India, y los países árabes. El matemático y astrónomo indio Brahmagupta (598-670 d.C) fue el primero en referirse explícitamente a los número negativos, como solución de las ecuaciones (se refería a ellos como “deudas”, en contraposición de las “fortunas”, como denominaba a los número positivos).

Brahmagupta

Durante siglos, la gran referencia en cuanto a teoría algebraica fue El libro Condensado sobre Restauración y Balanceo (Kitab al-jabr wa almuwabalah). Del título de este libro viene la palabra álgebra (del término “al-yéber”, que significa en árabe “restauración”o “conclusión”, y se refería a mover los términos de la ecuación de un lado a otro -lo que está sumando pasa restando, lo que está multiplicando pasa dividiendo, etc., como enseñan en el colegio, y su autor, Muhammad ibn Musa al Kjwarizmi (vivió del 780 al 850, aproximadamente), dio también nombre a la palabra algoritmo.

En el Quijote, ocho siglos después, se hace referencia a la palabra, cuando Cervantes llama “algebrista” a un curandero, que restauraba los huesos del cuerpo.

Al Kjwarizmi fue astrónomo, geógrafo y matemático. Determinó las primeras reglas del cálculo algebraico: la transposición de los términos de uno a otro miembro de una ecuación, previo cambio de signo, y la anulación de términos idénticos en ambos miembros. También estudió las ecuaciones de segundo grado. Este libro supone la primera inclusión del álgebra en el mundo musulmán, después de haber recorrido un largo camino que desde Babilonia la había llevado a la India y a Grecia. Todavía no se emplean símbolos para refererise a las incógnitas, sino que se hace una descripción literal: “dos veces una cosa menos el cuadrado de esa cosa…”

Se resuelven ecuaciones de primer grado y de segundo, con un método prácticamente idéntico al que usamos hoy en día. Sin embargo, la solución no apareció en Europa hasta el s. XII, en el libro Tratado de Medidas y Cálculos, del matemático judeo-español Abraham bar Hiyya Ha-Nasi. Siglos después, todos los libro de matemáticas de secundaria incluyen la fórmula.

Ejemplo.- Uso de la Formula General.

Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0

Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b²-4ac) ] / 2a

Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1

Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(6²-4×5×1) ] / 2×5

Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10

Respuesta: x = -0.2 and -1

(Comprobación:

5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0

5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)

¿Es cuadrática?

Sólo si se puede poner en la forma ax² + bx + c = 0, y a no es cero.

El nombre viene de "cuad" que significa cuadrado, así que la mejor pista es que la potencia sea un cuadrado (en otras palabras x²).

Todas estas son ecuaciones cuadráticas disfrazadas:

Disfrazada	En forma estándar	a, b y c
x² = 3x -1	x² - 3x + 1 = 0	a=1, b=-3, c=1
2(x² - 2x) = 5	2x² - 4x - 5 = 0	a=2, b=-4, c=-5
x(x-1) = 3	x² - x - 3 = 0	a=1, b=-1, c=-3
5 + 1/x - 1/x² = 0	5x² + x - 1 = 0	a=5, b=1, c=-1

Test Formula General de las ecuaciones Cuadráticas.

Test creado con GoConqr por Missael Lopez

Conclusión de la Formula General de las Cuadráticas.

Esta Formula nos ayuda a resolver las ecuaciones Cuadráticas o de segundo grado de manera sencilla, al contrario que usando la factorización y el método de raíz cuadrada, que son métodos que llevan un procedimiento con un grado más alto de dificultad.

Nació Tales en la ciudad de Mileto, aproximadamente en el 624 a.C., y murió en el 546 a.C. Tradicionalmente se ha considerado a Tales uno de los siete sabios de Grecia, siendo, junto con Solón, de los más citados en las diversas listas en que se los agrupaba. Las referencias acerca de su vida son confusas y contradictorias. Respecto a su propio origen, por ejemplo, unos le consideran de origen fenicio, habiendo sido posteriormente hecho ciudadano de Mileto, y otros le hacen natural de Mileto y de sangre noble.

También afirman unos que estuvo casado y que tuvo un hijo, mientras otros afirman que fue soltero y adoptó un hijo de su hermano. (Sobre esta soltería de Tales nos transmite Diógenes Laercio la siguiente anécdota: cuéntese también que apretándole su madre a que se casase, respondió que todavía era temprano; y que pasados algunos años, urgiendo su madre con mayores instancias, dijo que ya era tarde"). La misma incertidumbre rodea los demás aspectos de su vida. Se dice que viajó por Egipto, donde aprendió geometría, y donde midió la altura de las pirámides a partir de su sombra; en todo caso se le ha tenido siempre por astrónomo y geómetra práctico, atribuyéndosele algunos descubrimientos matemáticos como el teorema que lleva su nombre. Quizá la referencia más exacta de su vida sea la predicción del eclipse que tuvo lugar el año 585 antes de Cristo, lo que le valió gran renombre y fama.

Teorema de Tales

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Teorema de Tales en un triangulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

¿Por qué es útil el teorema de Tales?

El Teorema de Tales de Mileto se trata de Semejanza, y tiene demasiadas aplicaciones, pero entre tantas

La más utilizada es para calcular distancias inaccesibles, por ejemplo, la semejanza entre ángulos,

Dividir un segmento en 2 partes de tal forma que cumplan con una razón dada y conocer la medida de algún lado en figuras semejantes.

Aplicaciones del Teorema

El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.

Ejemplo:

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.

1 Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2 Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3 Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

Demostración del teorema de Tales

Conclusión teorema de Tales

El teorema de tales se trata de semejanza entre triángulos y tiene diversas aplicaciones ya que estos constituyen gran parte de la arquitectura y figuras geométricas de nuestro alrededor, pueden ser usadas desde la vida cotidiana hasta la construcción de edificios o calcular medidas de difícil acceso, como lo hizo Tales al calcular la altura de las pirámides de Egipto con la ayuda de este teorema y una simple vara.

Conocer el proceso que lleva este teorema es sencillo y nos puede servir para nuestra vida diaria y laboral.