Ecuaciones cuadráticas

El origen de la fórmula de la ecuación de segundo grado

Del colegio recordamos que todas las ecuaciones de segundo grado pueden resolverse con una fórmula. Si se escribe la ecuación como aX^2+ B^X+C=0, la receta X= (-b+-sqrt (b^2-4ac))/2a, da fácilmente las soluciones. Pero, ¿de dónde sale esta fórmula? El recorrido en la historia de la resolución de las ecuaciones polinómicas nos lleva hoy a India y los países árabes.

Los matemáticos europeos, con la caída de la Biblioteca de Alejandría como momento clave, entraron en el gran letargo de la Edad Media, del que no despertarían hasta el Renacimiento. Mientras tanto, las matemáticas siguieron creciendo y evolucionando en otras latitudes: India, y los países árabes. El matemático y astrónomo indio Brahmagupta (598-670 d.C) fue el primero en referirse explícitamente a los número negativos, como solución de las ecuaciones (se refería a ellos como “deudas”, en contraposición de las “fortunas”, como denominaba a los número positivos).

Brahmagupta

Durante siglos, la gran referencia en cuanto a teoría algebraica fue El libro Condensado sobre Restauración y Balanceo (Kitab al-jabr wa almuwabalah). Del título de este libro viene la palabra álgebra (del término “al-yéber”, que significa en árabe “restauración”o “conclusión”, y se refería a mover los términos de la ecuación de un lado a otro -lo que está sumando pasa restando, lo que está multiplicando pasa dividiendo, etc., como enseñan en el colegio, y su autor,  Muhammad ibn Musa al Kjwarizmi (vivió del 780 al 850, aproximadamente), dio también nombre a la palabra algoritmo.

En el Quijote, ocho siglos después, se hace referencia a la palabra, cuando Cervantes llama “algebrista” a un curandero, que restauraba los huesos del cuerpo.

Al Kjwarizmi fue astrónomo, geógrafo y matemático. Determinó las primeras reglas del cálculo algebraico: la transposición de los términos de uno a otro miembro de una ecuación, previo cambio de signo, y la anulación de términos idénticos en ambos miembros. También estudió las ecuaciones de segundo grado. Este libro supone la primera inclusión del álgebra en el mundo musulmán, después de haber recorrido un largo camino que desde Babilonia la había llevado a la India y a Grecia. Todavía no se emplean símbolos para refererise a las incógnitas, sino que se hace una descripción literal: “dos veces una cosa menos el cuadrado de esa cosa…”

Se resuelven ecuaciones de primer grado y de segundo, con un método prácticamente idéntico al que usamos hoy en día. Sin embargo, la solución no apareció en Europa hasta el s. XII, en el libro Tratado de Medidas y Cálculos, del matemático judeo-español Abraham bar Hiyya Ha-Nasi. Siglos después, todos los libro de matemáticas de secundaria incluyen la fórmula.

Ejemplo.- Uso de la Formula General.

Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0

Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b²-4ac) ] / 2a

Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1

Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(6²-4×5×1) ] / 2×5

Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10

Respuesta: x = -0.2 and -1

(Comprobación:

5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0

5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)

¿Es cuadrática?

Sólo si se puede poner en la forma ax² + bx + c = 0, y a no es cero.

El nombre viene de "cuad" que significa cuadrado, así que la mejor pista es que la potencia sea un cuadrado (en otras palabras x²).

Todas estas son ecuaciones cuadráticas disfrazadas:

Disfrazada	En forma estándar	a, b y c
x2 = 3x -1	x2 - 3x + 1 = 0	a=1, b=-3, c=1
2(x2 - 2x) = 5	2x2 - 4x - 5 = 0	a=2, b=-4, c=-5
x(x-1) = 3	x2 - x - 3 = 0	a=1, b=-1, c=-3
5 + 1/x - 1/x2 = 0	5x2 + x - 1 = 0	a=5, b=1, c=-1

Test Formula General de las ecuaciones Cuadráticas.

Test creado con GoConqr por Missael Lopez



Conclusión de la Formula General de las Cuadráticas.

Esta Formula nos ayuda a resolver las ecuaciones Cuadráticas o de segundo grado de manera sencilla, al contrario que usando la factorización y  el método de raíz cuadrada, que son métodos que llevan un procedimiento con un grado más alto de dificultad.