Matemáticas y Teoremas: abril 2015

Ecuaciones cuadráticas

El origen de la fórmula de la ecuación de segundo grado

Del colegio recordamos que todas las ecuaciones de segundo grado pueden resolverse con una fórmula. Si se escribe la ecuación como aX^2+ B^X+C=0, la receta X= (-b+-sqrt (b^2-4ac))/2a, da fácilmente las soluciones. Pero, ¿de dónde sale esta fórmula? El recorrido en la historia de la resolución de las ecuaciones polinómicas nos lleva hoy a India y los países árabes.

Los matemáticos europeos, con la caída de la Biblioteca de Alejandría como momento clave, entraron en el gran letargo de la Edad Media, del que no despertarían hasta el Renacimiento. Mientras tanto, las matemáticas siguieron creciendo y evolucionando en otras latitudes: India, y los países árabes. El matemático y astrónomo indio Brahmagupta (598-670 d.C) fue el primero en referirse explícitamente a los número negativos, como solución de las ecuaciones (se refería a ellos como “deudas”, en contraposición de las “fortunas”, como denominaba a los número positivos).

Brahmagupta

Durante siglos, la gran referencia en cuanto a teoría algebraica fue El libro Condensado sobre Restauración y Balanceo (Kitab al-jabr wa almuwabalah). Del título de este libro viene la palabra álgebra (del término “al-yéber”, que significa en árabe “restauración”o “conclusión”, y se refería a mover los términos de la ecuación de un lado a otro -lo que está sumando pasa restando, lo que está multiplicando pasa dividiendo, etc., como enseñan en el colegio, y su autor, Muhammad ibn Musa al Kjwarizmi (vivió del 780 al 850, aproximadamente), dio también nombre a la palabra algoritmo.

En el Quijote, ocho siglos después, se hace referencia a la palabra, cuando Cervantes llama “algebrista” a un curandero, que restauraba los huesos del cuerpo.

Al Kjwarizmi fue astrónomo, geógrafo y matemático. Determinó las primeras reglas del cálculo algebraico: la transposición de los términos de uno a otro miembro de una ecuación, previo cambio de signo, y la anulación de términos idénticos en ambos miembros. También estudió las ecuaciones de segundo grado. Este libro supone la primera inclusión del álgebra en el mundo musulmán, después de haber recorrido un largo camino que desde Babilonia la había llevado a la India y a Grecia. Todavía no se emplean símbolos para refererise a las incógnitas, sino que se hace una descripción literal: “dos veces una cosa menos el cuadrado de esa cosa…”

Se resuelven ecuaciones de primer grado y de segundo, con un método prácticamente idéntico al que usamos hoy en día. Sin embargo, la solución no apareció en Europa hasta el s. XII, en el libro Tratado de Medidas y Cálculos, del matemático judeo-español Abraham bar Hiyya Ha-Nasi. Siglos después, todos los libro de matemáticas de secundaria incluyen la fórmula.

Ejemplo.- Uso de la Formula General.

Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0

Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b²-4ac) ] / 2a

Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1

Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(6²-4×5×1) ] / 2×5

Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10

Respuesta: x = -0.2 and -1

(Comprobación:

5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0

5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)

¿Es cuadrática?

Sólo si se puede poner en la forma ax² + bx + c = 0, y a no es cero.

El nombre viene de "cuad" que significa cuadrado, así que la mejor pista es que la potencia sea un cuadrado (en otras palabras x²).

Todas estas son ecuaciones cuadráticas disfrazadas:

Disfrazada	En forma estándar	a, b y c
x² = 3x -1	x² - 3x + 1 = 0	a=1, b=-3, c=1
2(x² - 2x) = 5	2x² - 4x - 5 = 0	a=2, b=-4, c=-5
x(x-1) = 3	x² - x - 3 = 0	a=1, b=-1, c=-3
5 + 1/x - 1/x² = 0	5x² + x - 1 = 0	a=5, b=1, c=-1

Test Formula General de las ecuaciones Cuadráticas.

Test creado con GoConqr por Missael Lopez

Conclusión de la Formula General de las Cuadráticas.

Esta Formula nos ayuda a resolver las ecuaciones Cuadráticas o de segundo grado de manera sencilla, al contrario que usando la factorización y el método de raíz cuadrada, que son métodos que llevan un procedimiento con un grado más alto de dificultad.

Tales de Mileto

Nació Tales en la ciudad de Mileto, aproximadamente en el 624 a.C., y murió en el 546 a.C. Tradicionalmente se ha considerado a Tales uno de los siete sabios de Grecia, siendo, junto con Solón, de los más citados en las diversas listas en que se los agrupaba. Las referencias acerca de su vida son confusas y contradictorias. Respecto a su propio origen, por ejemplo, unos le consideran de origen fenicio, habiendo sido posteriormente hecho ciudadano de Mileto, y otros le hacen natural de Mileto y de sangre noble.

También afirman unos que estuvo casado y que tuvo un hijo, mientras otros afirman que fue soltero y adoptó un hijo de su hermano. (Sobre esta soltería de Tales nos transmite Diógenes Laercio la siguiente anécdota: cuéntese también que apretándole su madre a que se casase, respondió que todavía era temprano; y que pasados algunos años, urgiendo su madre con mayores instancias, dijo que ya era tarde"). La misma incertidumbre rodea los demás aspectos de su vida. Se dice que viajó por Egipto, donde aprendió geometría, y donde midió la altura de las pirámides a partir de su sombra; en todo caso se le ha tenido siempre por astrónomo y geómetra práctico, atribuyéndosele algunos descubrimientos matemáticos como el teorema que lleva su nombre. Quizá la referencia más exacta de su vida sea la predicción del eclipse que tuvo lugar el año 585 antes de Cristo, lo que le valió gran renombre y fama.

Teorema de Tales

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Teorema de Tales en un triangulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

¿Por qué es útil el teorema de Tales?

El Teorema de Tales de Mileto se trata de Semejanza, y tiene demasiadas aplicaciones, pero entre tantas

La más utilizada es para calcular distancias inaccesibles, por ejemplo, la semejanza entre ángulos,

Dividir un segmento en 2 partes de tal forma que cumplan con una razón dada y conocer la medida de algún lado en figuras semejantes.

Aplicaciones del Teorema

El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.

Ejemplo:

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.

1 Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2 Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3 Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

Demostración del teorema de Tales

Conclusión teorema de Tales

El teorema de tales se trata de semejanza entre triángulos y tiene diversas aplicaciones ya que estos constituyen gran parte de la arquitectura y figuras geométricas de nuestro alrededor, pueden ser usadas desde la vida cotidiana hasta la construcción de edificios o calcular medidas de difícil acceso, como lo hizo Tales al calcular la altura de las pirámides de Egipto con la ayuda de este teorema y una simple vara.

Conocer el proceso que lleva este teorema es sencillo y nos puede servir para nuestra vida diaria y laboral.